応用数学1

ラビットチャレンジ

ここでは線形代数を学習する。

前半は行列の加減、積、逆行列など高校の数学レベルだが、

後半に出てくる固有値は機械学習の主成分分析のベースとなる考え方だ。

A \vec{x} = \lambda \vec{x}　※A：正方行列

(A- \lambda I)\vec{x} = \vec{0}

A \vec{x} \neq \vec{0} より |A- \lambda I| = 0　となる\lambda(固有値)および\vec{x}(固有ベクトル)を導き出す。

 

さらに、以下の固有値分解が成立する。

A = V \Lambda V^{-1}

\Lambda = \begin{bmatrix}\lambda_{1} & & \\ & \lambda_{2} & \\ & & \ddots \end{bmatrix}　固有値を対角に並べた行列

V = \biggl(\vec{v_{1}} \quad \vec{v_{2}} \quad \cdots \biggr)　固有ベクトルを並べた行列

 

 簡単な例題をやってみる。

A = \begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}

|A- \lambda I| = 0 より、(8- \lambda)(5- \lambda)-4 = 0

\lambda^{2} - 13\lambda +36 = (\lambda-9)(\lambda-4) = 0　なので、\lambda = 4, 9

\lambda = 4の固有ベクトルは \vec{x}= t \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \end{bmatrix}、

\lambda = 9の固有ベクトルは \vec{x}= t \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}　　※t \neq 0

よって、固有値分解の式は以下の通り。

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -4& 1 \end{bmatrix}^{-1}

 

〇後記

　初めて本格的にはてなブログで書いた。一般的な数式の記述はTexのおかげですいすいだったが、行列の記述に異様に手間取った。一番簡単と思われる、「見たままモード」だと、Texの列区切である"&"を記述するとamp;なる変な文字がついてきてしまう。調べまくった結果、「はてなモード」では、そのような不具合が出ないというので、「はてなモード」へ切り替えてしまった。(先人も同じような所で苦労をされてました)
　なんだかんだ言って、全部で2時間以上かかった。先が思いやられる。